fix: typos & add missing words

Author: mickleon

questions/linear-systems-of-equations/definitions.typ

@@ -71,7 +71,7 @@ $ Y^' = A(x) Y, space.quad x in [a,b], space.quad A(x) #sym.dash.em n times n $
 
 10. *Матричная экспонента $e^A$*
 
-Для любой матрицы матричный ряд $E + A + 1/2! A^2 + 1/3! A^3+...+1/k! A^k+...$ сходится. Его сумма обозначается $e^A.$
+Для любой матрицы $A$ матричный ряд $E + A + 1/2! A^2 + 1/3! A^3+...+1/k! A^k+...$ сходится. Его сумма обозначается $e^A.$
 
 #heading(level: 3, numbering: none)[Формулировки Теорем]
 
@@ -82,11 +82,11 @@ $ Y^' = A(x) Y, space.quad x in [a,b], space.quad A(x) #sym.dash.em n times n $
 
 2. *Необходимое условие линейной зависимости вектор-функций (теорема 2)*
 
-Если $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n(x)$ линейно зависимые на $[a, b]$, то $W(x) = 0$.
+Если $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n (x)$ линейно зависимые на $[a, b]$, то $W(x) = 0$.
 
 3. *Необходимое условия линейной независимости вектор-функций (теорема 3)*
 
-Пусть $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n(x)$ --- линейно независимые на $[a, b]$ --- решения однородной системы $Y' = A(x) Y, a<=x<=b$. Тогда $W(x) != 0 space forall x in [a,b]$
+Пусть $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n (x)$ --- линейно независимые на $[a, b]$ --- решения однородной системы $Y' = A(x) Y, a<=x<=b$. Тогда $W(x) != 0 space forall x in [a,b]$
 
 4. *Существование ФСР (теорема 4)*
 
@@ -111,8 +111,8 @@ $ Y(x) = c_1 Phi_1(x) + c_2 Phi_2(x) + ... + c_n Phi_n(x) + Y_ч (x) $
 6. *Свойства фундаментальной матрицы*
 
 Свойства фундаментальных матриц:\
-1) $exists T^(-1) (x): det T(x) = W(x) != 0$\
-2) $T'(x) = A(x) T(x)$ так как $T'(x) = (Phi'_1(x), Phi'_2(x), ..., Phi'_n(x))$\
+1) $exists T^(-1) (x)$, так как $det T(x) = W(x) != 0$\
+2) $T'(x) = A(x) T(x)$, так как $T'(x) = (Phi'_1(x), Phi'_2(x), ..., Phi'_n(x))$\
 3) Пусть $C = mat(c_1; ...; c_n)$ --- произвольный вектор. Тогда общее решение $Y(x) = A(x) Y + F(x)$ можно записать в виде $Y(x) = T(x) C$
 
 7. *Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы*

questions/linear-systems-of-equations/theorems_and_algorithms.typ

@@ -18,7 +18,7 @@ $
 
 === Необходимое условие линейной зависимости вектор-функций (теорема 2)
 
-Если $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n(x)$ линейно зависимые на $[a, b]$, то $W(x) = 0$.
+Если $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n (x)$ линейно зависимые на $[a, b]$, то $W(x) = 0$.
 
 ==== Доказательство
 
@@ -32,11 +32,11 @@ $ alpha_1 Phi_1 (x) + ... + alpha_n Phi_n (x) = mat(0; ...; 0) $
 
 === Необходимое условия линейной независимости вектор-функций (теорема 3)
 
-Пусть $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n(x)$ --- линейно независимые на $[a, b]$ --- решения однородной системы $Y' = A(x) Y, a<=x<=b$. Тогда $W(x) != 0 space forall x in [a,b]$
+Пусть $Phi_1(x), Phi_2(x), ..., Phi_n (x)$ --- линейно независимые на $[a, b]$ --- решения однородной системы $Y' = A(x) Y, a<=x<=b$. Тогда $W(x) != 0 space forall x in [a,b]$
 
 ==== Доказательство
 
-Представим, что $exists x_0 in [a, b]: space W(x_0) = mat(delim: "|", Phi_1 (x_0) space Phi_2 (x_0) space ... space Phi_n (x_0)) = 0$.
+От противного. Представим, что $exists x_0 in [a, b]: space W(x_0) = mat(delim: "|", Phi_1 (x_0) space Phi_2 (x_0) space ... space Phi_n (x_0)) = 0$.
 
 По теореме из алгебры столбы $W(x_0)$ линейно зависимые. То есть найдутся числа $alpha_1, ..., alpha_n$, не все равные нулю, такие что
 
@@ -59,7 +59,7 @@ $
 
 Тогда $Phi(x) eq.triple mat(0; ...; 0)$, то есть $alpha_1 Phi_1(x) + ... + alpha_n Phi_n (x) eq.triple 0$.
 
-Не все $alpha$ равны нулю. Поэтому $Phi_1 (x), ..., Phi_n (x)$ --- линейно зависимые.
+Не все $alpha$ равны нулю. Поэтому $Phi_1 (x), ..., Phi_n (x)$ --- линейно зависимые --- противоречие.
 
 === Существование ФСР (теорема 4)
 
@@ -168,7 +168,11 @@ $ Z(x) = Phi(x) = c_1^0 Phi_1 (x) + ... + c_n^0 Phi_n (x) + Y_ч (x). $
 
 ==== Следствие
 
-Общее решение однородной системы $Y' = A(x) Y$ имеет вид $Y(x) = c_1 Phi_1 (x) + ... + c_n Phi_n (x)$, где $Phi_1, ..., Phi_n$ --- ФСР, так как $Y_ч (x) = mat(0; ...; 0)$
+Общее решение однородной системы $Y' = A(x) Y$ имеет вид
+
+$ Y(x) = c_1 Phi_1 (x) + ... + c_n Phi_n (x), $
+
+где $Phi_1, ..., Phi_n$ --- ФСР, так как $Y_ч (x) = mat(0; ...; 0)$
 
 ==== Выводы
 
@@ -178,8 +182,8 @@ $ Z(x) = Phi(x) = c_1^0 Phi_1 (x) + ... + c_n^0 Phi_n (x) + Y_ч (x). $
 === Свойства фундаментальной матрицы
 
 Свойства фундаментальных матриц:\
-1) $exists T^(-1) (x): det T(x) = W(x) != 0$\
-2) $T'(x) = A(x) T(x)$ так как $T'(x) = (Phi'_1(x), Phi'_2(x), ..., Phi'_n(x))$\
+1) $exists T^(-1) (x)$, так как $det T(x) = W(x) != 0$\
+2) $T'(x) = A(x) T(x)$, так как $T'(x) = (Phi'_1(x), Phi'_2(x), ..., Phi'_n(x))$\
 3) Пусть $C = mat(c_1; ...; c_n)$ --- произвольный вектор. Тогда общее решение $Y(x) = A(x) Y + F(x)$ можно записать в виде $Y(x) = T(x) C$
 
 === Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы
@@ -280,7 +284,9 @@ $
 
   $A = mat(1, -2, 1; -1, 1, 1; 1, 0, -1)$
 
-2. Составляем характеристическое уравнение $det abs(A - lambda E) = 0$: $-lambda^3 + lambda^2 + 2 lambda = 0$.
+2. Составляем характеристическое уравнение $det abs(A - lambda E) = 0$
+
+  $ -lambda^3 + lambda^2 + 2 lambda = 0. $
 
 3. Находим собственные значения как корни характеристического уравнения: $lambda_1 = 0, lambda_2 = 2, lambda_3 = -1$ --- случай простых собственных значений.
 
@@ -342,7 +348,7 @@ $Y(x) = e^(A (x-x_0)) Y^0 + limits(integral)_(x_0)^(x) e^(A (x-t)) F(t) d t$
 $ y' = A y + F(x) $<eq:lin_system_11_1>
 $ Y(x_0) = Y^0 $<eq:lin_system_11_2>
 
-По теореме 5 общее решение системы @eq:lin_system_11_1 имеет вид $Y(x) = Y_0 (x) = Y_ч(x)$, где $Y_0 (x)$ --- решение соответствующей однородной системы
+По теореме 5 общее решение системы @eq:lin_system_11_1 имеет вид $Y(x) = Y_0 (x) + Y_ч (x)$, где $Y_0 (x)$ --- решение соответствующей однородной системы
 
 $ Y = A Y, $<eq:lin_system_11_3>
 

questions/linear_nth_order_equations/definitions.typ

@@ -5,7 +5,7 @@ $
   a_0(x) y^((n)) + a_1(x) y^((n-1)) + ... + a_(n - 1) (x) y' + a_n (x) y = f(x), space a <= x <= b,
 $
 
-где $overbrace(a_0(x)", "a_1(x)",...,"a_n (x), "коэффициенты")$ $, f(x)$ --- известные непрерывные на $x in [a, b]$ функции.
+где $overbrace(a_0(x)", "a_1(x)",...,"a_n (x), "коэффициенты")$ $, f(x)$ --- известные непрерывные на $[a, b]$ функции.
 
 *Линейное уравнение* называется *однородным*, если $f(x) equiv 0$ \
 или *неоднородными*, если $f(x) equiv.not 0$ (в каких-то точках может обращаться в ноль, но не везде).
@@ -28,7 +28,7 @@ $ y(x_0) = y^0, y'(x_0) = y_1^0, ..., y^((n-1)) (x_0) = y^0_(n-1) $ --- нача
 
 4. Функции $phi_1 (x), ..., phi_m (x)$ называются *линейно зависимыми* на $[a, b]$, если $exists alpha_1, ..., alpha_m$ --- числа, не все равные 0, такие, что $alpha_1 phi_1 (x) + alpha_2 phi_2 (x) + ... alpha_m phi_m (x) equiv 0$.
 
-5. Пусть $phi_1 (x), ..., phi_n (x) in CC^(n-1)$.
+5. Пусть $phi_1 (x), ..., phi_n (x) in C^(n-1)$.
 
 *Определитель Вронского* этих функций --- это следующий определитель:
 

questions/linear_nth_order_equations/theorems_and_algorithms.typ

@@ -27,7 +27,7 @@ $forall alpha in CC space.fig forall z_1 (x)$, $z_2 (x) in C^n$ выполняю
 Легко показать, что $forall z_1 (x), ..., z_m (x) in C^m space.fig forall alpha_1, ..., alpha_m in CC$:
 
 $
-  l(limits(sum)^(k=1)_m alpha_k z_k (x)) = limits(sum)_(k=1)^m alpha_k l(z_k (x))
+  l(limits(sum)_(k=1)^m alpha_k z_k (x)) = limits(sum)_(k=1)^m alpha_k l(z_k (x))
 $
 
 ==== Следствие
@@ -84,11 +84,17 @@ $ <linear_theorem_2>
 
 === Необходимое условие линейной независимости (теорема 4)
 
-Если $phi_1 (x), ..., phi_n (x)$ --- ФСР уравнения @linear_equations, то $W(x) != 0$ $forall x in [a, b]$.
+Если $phi_1 (x), ..., phi_n (x)$ --- ФСР уравнения
+
+$
+  y^((n)) + a_1 (x) y^((n-1)) + ... + a_n (x) y = f(x), a <= x <= b
+$ <linear_equations_theorem_4>
+
+то $W(x) != 0$ $forall x in [a, b]$.
 
 ==== Доказательство
 
-От противного. Пусть $phi_1 (x), ..., phi_n (x)$ --- ФСР.
+От противного. Пусть $phi_1 (x), ..., phi_n (x)$ --- ФСР @linear_equations_theorem_4.
 
 Предположим, что $exists x_0 in [a, b]$: $W(x_0) = 0 stretch(=>)^"по теореме"_"из алгебры"$ столбцы $W(x_0)$ линейно зависимы, значит $exists alpha_1, ..., alpha_n$ --- числа, не все равные 0, такие, что:
 
@@ -114,7 +120,7 @@ $
   )
 $
 
-Обозначим $phi(x) = limits(sum)_(k=1)^n alpha_n phi_n (x)$ --- решение @linear_equations (следствие из теоремы 1).
+Обозначим $phi(x) = limits(sum)_(k=1)^n alpha_n phi_n (x)$ --- решение @linear_equations_theorem_4 (следствие из теоремы 1).
 
 Рассмотрим $phi(x_0) = 0, space phi'(x_0) = 0, space ..., space phi^((n-1)) (x_0) = 0$.